Entiers tels que 8x = 15y - Corrigé

Énoncé

1. Déterminer tous les entiers \(x\) et \(y\) tels que \(8x=15y\) .

2. Soit \(n \in \mathbb{N}\)  tel que le reste dans la division euclidienne de  \(n\) par \(16\) et par \(30\) vaut \(8\) . Déterminer tous les entiers \(n\) possibles.

Solution

1. Soit \((x;y) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(8x=15y\) .
On en déduit que \(8\) divise \(15y\) . Or \(8\) et \(15\) sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, \(8\) divise \(y\) . Ainsi, il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(y=8k\) . On a alors    \(8x=15y=15 \times 8k\) , et donc    \(x=15k\)  .

Réciproquement, si \((x;y)=(15k;8k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) , alors \(8x=15y\) .

Finalement, \(S=\left\lbrace (15k;8k) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

2. Par hypothèse, il existe \(q\) , \(q' \in \mathbb{Z}\) tels que \(n=16q+8\) et \(n=30q'+8\) .
On en déduit que  \(\begin{align*}16q+8=30q'+8\ \ \Longleftrightarrow \ \ 16q=30q'\ \ \Longleftrightarrow \ \ 8q=15q'\end{align*}\) .

D'après la question précédente, \((q;q')=(15k;8k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) , et on en déduit que \(n=16 \times 15k+8=240k+8\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .